% Demo der Symbolic Toolbox

%% Symbolische Funktionen
clear; clc;

disp('Symbolische Funktionen');
%  Deklaration
syms a b c;        % deklariere symbolische Variablen
f = a+b+c          % symbolische Funktion

% Ersetzen von Variablen durch Zahlenwerten oder Ausdruecke
subs(f, a, 3)      % Ersetze a durch 3

subs(f, a, b)      % Ersetze a durch (bereits als symb. def.) Variable b

subs(f, a, 'x')    % Ersetze a durch (noch nicht als symb.) Variable x

subs(f, a, (b+c)^2)  % Ersetze a durch den Term (b+c)^2

subs(f, [a,b,c], [1,2,3])  % Ersetze die Variablen durch die Werte/Terme

%% Manipulation algebraischer Ausdruecke 
clear; clc;

disp('Manipulation algebraischer Ausdruecke');
syms a b;          % deklariere symb. Variablen
f = a^2-2*a*b+b^2 % symb. Funktion

fe = factor(f)    % faktorisieren

expand(fe)        % ausmultiplizieren

disp('simple anwenden')
simple(f)         % (bestmoeglich) vereinfachen

%% Algebraische Gleichungen
%% Loese nach der einzigen Variablen auf
clear; clc;
disp('Loese nach der einzigen Variablen auf')
% Loese x^2=16:  Variante 1
solve('x^2 = 16')

% Loese x^2=16:  Variante 2
syms x;
y = x^2-16;
solve(y, x)       % Loest  y(x) = 0 

% Numerisch mit  fzero()
disp('Numerisch mit  fzero():')

x0  = 1;
% 
f_hand = @(x)subs(y,x);          % Functionshandle aus symbolischer Fkt. erzeugen
sol = fzero(f_hand, x0)        
disp(['Loesung  ',num2str(sol),'  bei Startloesung ', num2str(x0)]);

%% Loese nach einer bestimmten Variablen auf ("Umstellen nach")
clear; clc;
disp('Loese nach einer bestimmten Variablen auf')
% Stelle y = 2*x^2+4  nach x um
syms x y;
f = 2*x^2+4-y       %  Notwendig:  f(x,y) = 0
solve(f,x)

%% Algebraische Gleichungssysteme
%% Lineares System
%                               a +   b = 3
%                               a + 2*b = 6
%%  Variante 1: symbolisch
%      via      f_1(a,b) := a +   b - 3 = 0
%               f_2(a,b) := a + 2*b - 6 = 0 
clear; clc;
disp('Lineares System  Variante 1: symbolisch')
syms a b;
f(1) = a +   b - 3;
f(2) = a + 2*b - 6;
[A,B] = solve(f(1),f(2))         % 2 symb. Variable als Ergebnis
%  bzw
SOLUTION = solve(f(1),f(2))      % Cell Array als Ergebnis
SOLUTION.a
SOLUTION.b

%% Variante 2: numerisch
%     via loesen von           K*x = f     (x enthaelt Loesung fuer [a;b])
clear; clc;
disp('Lineares System  Variante 2: numerisch')
% Koeffizientenmatrix
K = [1 1; 1 2]
% rechte Seite
f = [ 3; 6]
% Loesen des linearen Gleichungssystems
x = K\f

%% Nichtlineares System
%                               a^2 + b^2 = 1
%                               a   + b   = 1
%%  Variante 1: symbolisch
%      via      f_1(a,b) := a^2 + b^2 - 1 = 0
%               f_2(a,b) := a   + b   - 1 = 0 
clear; clc;
disp('Nichtlineares System  Variante 1: symbolisch ')
syms a b;
f(1) = a^2 + b^2 - 1;
f(2) = a   + b   - 1;
[A,B] = solve(f(1),f(2))
%  bzw
SOLUTION = solve(f(1),f(2))
SOLUTION.a       % beide Loesungen werden ausgegeben
SOLUTION.b
% Eine einzelne Loesung extrahieren
Solution1 = [SOLUTION.a, SOLUTION.b]

% numerische Loesung via fsolve();
disp('Nichtlineares System  Variante 2: numerisch')

x_0 = [0.5, 0.6];
sol = fsolve(@(x)[x(1)^2 + x(2)^2 - 1; x(1)   + x(2)   - 1], x_0)
disp(['Numerische Loesung  ',num2str(sol),' bei Startloesung ',num2str(x_0)])


%% Integrieren und Differenzieren nach einer Variablen
clear; clc;

disp('Integrieren und Differenzieren nach einer Variablen')
syms x;
f = x^2 - 3*x + 4
% Differenzieren
diff(f)              % oder  diff('x^2 - 3*x + 4')

% Integrieren
int(f)               % unbestimmtes Integral
int(f,x)
int(f,0,1)           % bestimmtes Integral
int(f,x,0,1)

%% Integrieren und Differenzieren mehrdimensionaler Funktionen
clear; clc;

disp('Integrieren und Differenzieren mehrdimensionaler Funktionen')
syms a b
f = [a^2 + b^2 - 1, a + b - 1]

Jac = jacobian(f);

f1_a = diff(f(1),a)

int(f(1))

int(f(1),a)

int(f(1),a,1,2);