5.2 Die Ableitung einer Funktion

Definition 5.2.1 Zu einer gegebenen Funktion f definiert man die Funktion f (Ableitung von f) durch

f′(x) = lim  f(x-+-Δx-)---f(x)-
        Δx→0        Δx

Der Definitionsbereich von fist die Menge aller jener Punkte x des Definitionsbereichs von f, für die der obige Limes existiert.

Die Funktion fbeschreibt an jeder Stelle die dortige Steigung der Funktion f.

Man nennt eine Funktion f an der Stelle x differenzierbar, wenn f(x) existiert. Die Funktion ist differenzierbar im offenen Intervall (a,b), falls die Ableitung an jedem Punkt des Intervalls existiert. Die Berechnung der Ableitung nennt man auch Differentiation.

Notation: Bezeichnungen für die Ableitung von f an einer Stelle x;

         df(x)    d         df
f ′(x),   -----,   --f (x),  ---(x)
          dx      dx        dx

Bezeichnungen für die Ableitungsfunktion sind

 ′   df-
f ,  dx ,  fx,  Dxf

In Anlehnung an y = f(x) schreibt man für die Ableitung oft

     dy
y′,  ---
     dx

dy∕dx spricht man “die Ableitung von y nach x”. Die Notation ist sehr verbreitet, aber die Abhängigkeit von der Stelle x, an der die Ableitung berechnet wird, ist nicht in der üblichen Funktionsschreibweise dargestellt:

dy         Δy
---=   lim  ----= f ′(x)
dx    Δx→0 Δx

Wenn man daher explizit die Ableitung an der Stelle x = c meint, schreibt man dann oft sowas wie

  |
dy|
--|| .
dx c

Definition 5.2.2 Eine Funktion f ist differenzierbar im abgeschlossenen Intevall [a,b], wenn sie im offenen Intervall (a,b) differenzierbar ist, und an den Randpunkten die sogenannten einseitigen Ableitungen existieren:

       f(a + Δx ) - f(a)            f (b + Δx ) - f(b)
  lim + -----------------,      lim  ------------------,
Δx →0         Δx              Δx→0         Δx

(also die rechtsseitige Ableitung an der Stelle a und die linksseitige Ableitung an der Stelle b).