3.3 Vektorfelder

Definition 3.3.1 Ein Vektorfeld ist eine Funktion v, die jedem Punkt x des Raumes einen Vektor v(x) zuordnet:

    {   3     3
v :   ℝ  →  ℝ
      x ↦→  v(x)

Natürlich kann man diese Definition auf beliebige Dimensionen erweitern. Abbildung 2.4 zeigt ein Vektorfeld in zwei Dimensionen. Wenn das Vektorfeld zwei- oder dreidimensional ist, kann man sich den Vektor v(x) als einen am Punkt x des Raumes angehefteten Pfeil vorstellen.

Ein Paradebeispiel für ein Vektorfeld ist das Geschwindigkeitsfeld einer Strömung.

Ein anderes Beispiel ist das Kraftfeld, das die Erde durch die Gravitation im Weltraum erzeugt. Wenn der Koordinatenursprung der Erdmittelpunkt ist, dann beschreibt die Formel

               x
F (x) = γM  m ---3
              |x|

die Kraft, die auf einen Körper der Masse m am Ort x wirkt (für Orte x außerhalb der Erdoberfläche). Dabei ist M ist die Masse der Erde, γ die universelle Gravitationskonstante.

In dieser Formel werden gewisse Rechenoperationen mit dem Vektor x ausgeführt, um die Kraft am Ort x zu bestimmen. Einige der mit Vektoren möglichen Rechenoperationen definieren wir im nächsten Kapitel.